Вычисление числа | ||||||||||||||||||||||||||
ТЕМА : Экспериментальное вычисление числа в опыте Бюффона. | ||||||||||||||||||||||||||
ОПИСАНИЕ : Оказывается, приближенно найти можно с помощью иголки ... и теории вероятностей. Такой способ придумал французский естествоиспытатель Ж. Л. Л. Бюффон (1707-1788). | ||||||||||||||||||||||||||
Для осуществления опыта Бюффона нужно немного : плоская горизонтальная поверхность с нанесенными на ней параллельными равноотстоящими прямыми и игла. Расстояние между прямыми H и длина иглы L должны удовлетворять соотношениию L < H. Будем произвольным образом подбрасывать иглу над такой поверхностью, сообщая ей каждый раз небольшое вращение так, чтобы игла свободно падала с некоторой высоты, составляя при падении совершенно случайный угол с начерченными прямыми. После каждого броска будем отмечать, пересекла или не пересекла игла одну из параллельных прямых и подсчитывать частоту пересечений, то есть отношение числа m бросаний, при которых пересечение произошло, к их общему числу n. Довольно скоро мы заметим, что при многократном повторениии бросаний частота будет меняться все меньше и меньше. Более того, если произвести много длинных серий подбрасываний, обнаружится, что частота пересечений почти во всех сериях будет примерно одной и той же. Эта частота будет равна вероятности р того, что игла пересечет одну из линий. Ведь вероятность - это как раз и есть то значение, около которого колеблется частота осуществления того или иного события в достаточно длинных сериях экспериментов. Методы теории вероятностей позволяют исходя из условий проведения эксперимента рассчитывать вероятности теоретически. Вероятность пересечений р в опыте Бюффона будет равна . А поскольку частота пересечений m/n примерно равна этой вероятности, для приближенного вычисления имеем формулу . (*) |
||||||||||||||||||||||||||
УПРАВЛЕНИЕ осуществляется с помощью кнопок : БРОСОК, НАЗАД, кнопки подсчета числа пересечений ПЛЮС. | ||||||||||||||||||||||||||
ЗАДАНИЕ : Проверка формулы (*). Провести длинную серию экспериментов по подбрасыванию иглы. Подсчет числа бросков n проводится автоматически. Подсчет числа пересечений m необходимо проводить вручную с помощью кнопки ПЛЮС. Используя полученные в эксперименте значения n, m и принимая L = 60 мм, H = 80 мм , рассчитать по формуле (*) приближенное значение числа . Сравнить полученные значения с результатами лучших <<игроков>>, приведенными ниже. | ||||||||||||||||||||||||||
Лучшие <<игроки>> | ||||||||||||||||||||||||||
В 19 веке, когда теория вероятностей рассматривалась как полуэкспериментальная наука, такие опыты имели большое значение и весьма тщательно ставились многими учеными. Ниже приводится таблица, взятая из курса теории вероятностей Б.В. Гнеденко. В первой колонке даны фамилии ученых , бросавших иглу, во второй - год проведения опыта, в третьей - число бросаний, из которого было определено , и в последней - полученное в результате опытов значение. В нижней строке таблицы дано значение с восемью знаками. | ||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
Дополнительное задание : 1)Вывести формулу (*), |
||||||||||||||||||||||||||
2) Доказать , что в опыте Бюффона нельзя получить значение с точностью указанной Лаццирини. | ||||||||||||||||||||||||||